DERIVADAS
definición
Es la pendiente de la recta tangente a
una curva en un punto cualquiera
DERIVADA
DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Se
estudia mediante:
- Derivadas laterales
- Cálculo directo de derivadas
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA
Recta tangente a una
función en un punto
monotonía
La monotonía de una función se refiere a cuándo es creciente
(es decir, las imágenes son cada vez mayores, a medida que aumentamos los
valores de x) y cuando decreciente.
a) Si ∀x∈(a, b), f
'(x)>0 ⇒
f es creciente estrictamente en (a, b)
b) Si ∀x∈(a, b), f
'(x) <0 ⇒
f es decreciente estrictamente en (a, b)
c) Si f
'(x)=0 ⇒ f tiene tangente horizontal
en (x, f(x))”
Como consecuencia, el estudio de la monotonía de una función f es como sigue:
Nos limitamos al Dom (f) (es absurdo estudiar puntos donde
no existe la función). Por tanto, estamos excluyendo:
a) Los puntos de discontinuidad de f’.
b) Los puntos críticos, es decir, x tales que f '(x)=0.
Dividimos R en intervalos mediante todos los puntos anteriores. Se
puede demostrar que en cada uno de esos intervalos el signo de f ' no
cambia. Por tanto, según el teorema anterior, f es siempre creciente, o
siempre decreciente, en cada uno de ellos.
Se
estudia:
- Crecimiento
- Decrecimiento
Mediante
:
- Extremos relativos
CURVATURA
Definición: Una función se dice convexa en un intervalo
si en dicho intervalo las tangentes a la gráfica quedan por debajo de la misma.
En caso contrario se dice cóncava. Si,
en un punto cambia la curvatura, es
decir, a la izquierda del mismo la función es cóncava y a la derecha, convexa,
o al revés, dicho punto es un punto de inflexión
Como consecuencia, el estudio de la curvatura de una función f es muy similar al de la monotonía: Dividimos Dom (f)
(es decir, excluimos los puntos de discontinuidad de f) en intervalos
mediante:
a) Los puntos de discontinuidad de f y de f’.
b) Los puntos de discontinuidad de f”.
c) Los puntos que anulan a f”.
En
cada intervalo resultante, el signo de f " se mantiene invariado,
por lo que con un cuadro similar al de la monotonía tenemos la curvatura de la
función. Los puntos donde cambia la curvatura son los puntos de inflexión.
