Definicion

DERIVADAS

 definición

Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera

 

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Se estudia mediante:

•        Derivadas laterales

•       Cálculo directo de derivadas

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Recta tangente a una función en un punto

monotonía 

La monotonía de una función se refiere a cuándo es creciente (es decir, las imágenes son cada vez mayores, a medida que aumentamos los valores de x) y cuando decreciente.

a) Si ∀x∈(a, b), f '(x)>0 ⇒ f es creciente estrictamente en (a, b)

b) Si ∀x∈(a, b), f '(x) <0 ⇒ f es decreciente estrictamente en (a, b)

c) Si f '(x)=0 ⇒ f tiene tangente horizontal en (x, f(x))”

Como consecuencia, el estudio de la monotonía de una función f es como sigue:

Nos limitamos al Dom (f) (es absurdo estudiar puntos donde no existe la función). Por tanto, estamos excluyendo:

a) Los puntos de discontinuidad de f’.

b) Los puntos críticos, es decir, x  tales que f '(x)=0.

Dividimos R en intervalos mediante todos los puntos anteriores. Se puede demostrar que en cada uno de esos intervalos el signo de f ' no cambia. Por tanto, según el teorema anterior, f es siempre creciente, o siempre decreciente, en cada uno de ellos.

Se estudia:

•        Crecimiento

•        Decrecimiento

Mediante :

•       Extremos relativos

 CURVATURA

Definición: Una función se dice convexa en un intervalo si en dicho intervalo las tangentes a la gráfica quedan por debajo de la misma. En caso contrario se dice  cóncava. Si, en un punto cambia la curvatura,  es decir, a la izquierda del mismo la función es cóncava y a la derecha, convexa, o  al revés, dicho punto es un  punto de inflexión

Como consecuencia, el estudio de la curvatura de una función f es muy similar al de la monotonía: Dividimos Dom (f) (es decir, excluimos los puntos de discontinuidad de f) en intervalos mediante:

a) Los puntos de discontinuidad de f y de f’.

b) Los puntos de discontinuidad de f”.

c) Los puntos que anulan a f”.

En cada intervalo resultante, el signo de f " se mantiene invariado, por lo que con un cuadro similar al de la monotonía tenemos la curvatura de la función. Los puntos donde cambia la curvatura son los puntos de inflexión.

Se estudia:

•       Concavidad

•       Convexidad

Mediante:

•      Puntos de inflexión